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Quebrados.

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Quebrados
Notación de los quebrados | Operaciones con quebrados | El común denominador
Simplificación. | Máximo común divisor

Quebrados.

El concepto de fracción como una parte de una unidad, puede expresarse no solamente en base al sistema decimal a partir de considerar a la unidad subdividida sucesivamente en décimos. Los quebrados son una forma de expresar una fracción indicando la cantidad de partes en que ha sido dividida, y la cantidad de esas partes que se toma en consideración.
La forma más accesible de comprender el concepto del "quebrado" como elemento aritmético, es la referencia a las fracciones más corrientemente mencionadas; tales como "la mitad", "un tercio", "un cuarto". En estas expresiones, se está significando que la unidad ha sido dividida en dos, tres o cuatro partes iguales, de las cuales se toma en consideración solamente una. Aunque igualmente es posible hacerlo con más de una (dos tercios) y también es posible considerar que esas fracciones en su conjunto superen una unidad, como cuando se consideran "cinco tercios", por ejemplo, que equivalen por lo tanto a una unidad más dos tercios de otra.
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Notación de los quebrados.

Las fracciones que se expresan en forma de quebrados, se escriben indicando primero el número de partes que se toma en consideración, y luego la cantidad total de partes en que está dividida la unidad. En la escritura corriente esas cantidades se separan por medio de una barra inclinada:
1/2 (un medio) — 2/3 (dos tercios) — 3/4 (tres cuartos) — 3/5 (dos quintos), etc.
A los fines de la operativa aritmética, se expresan los quebrados del mismo modo, pero colocando un número sobre el otro:
1       2       3       3
2       3       4       5
El número que aparece colocado por arriba de la línea horizontal, se denomina numerador (porque indica el número de partes considerado); y el número que aparece debajo de la línea, se denomina denominador (porque es el que denomina la cantidad de partes iguales en que se ha dividido la unidad).
En algunos otros casos, también se representan los quebrados con una notación que separa ambos términos mediante dos puntos:
1:2    1:3    3:4   3:5
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Operaciones con quebrados.

Se realizan con los quebrados las mismas operaciones aritméticas básicas que con los números enteros o decimales.
El concepto fundamental que debe tenerse en consideración respecto de las operaciones aritméticas con quebrados, es que siempre debe operarse con elementos de la misma naturaleza; lo que en el caso de los quebrados, significa que deben ser quebrados que tengan todos el mismo denominador.
En consecuencia, para operar con quebrados, teniendo todos el mismo denominador, la operación de que se trate se realiza exclusivamente con los numeradores; y el resultado será un quebrado con el mismo denominador, pero cuyo numerador será el resultante de la operación realizada.
3        +       1       =      4
5                 5               5
3        –       1       =      2
5                 5               5
3        ×       2       =      6
5                 5               5
8        ÷       2       =      4
5                 5               5

También es posible operar con quebrados, en forma combinada con números enteros. En tales casos, se aplican las siguientes reglas:

Para sumar o restar un quebrado con un entero — se convierte primero el entero en un quebrado de igual denominador, para lo cual se coloca como numerador el resultado de multiplicar el número entero por el que debe ser el denominador.
Para sumar 5/7 + 28:
28 × 7 = 196
5        +       196       =      201
7                    7                   7
Para multiplicar un quebrado por un entero — se puede tanto multiplicar el numerador como - si es posible en forma exacta - dividir el denominador, por el número entero.
Para dividir un quebrado por un entero — se puede tanto dividir el numerador - si es posible en forma exacta - como multipliar el denominador, por el número entero.

En todos estos casos es muy posible que el resultado sea un quebrado compuesto por numerador, denominador, o ambos, consistente en un número alto; por lo cual cabe analizar la conveniencia de proceder a simplificarlo.
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El común denominador.

Puede realizarse las operaciones aritméticas básicas con quebrados de distinto denominador, pero para ello es preciso que primero se logre que todos tengan un mismo denominador común.
Para ello, se emplea una propiedad de los quebrados, que consiste en que, si se multiplican sus dos términos, numerador y denominador, por un mismo número, la razón, o sea la relación que existe entre la unidad y la cantidad de partes que el quebrado representa, no se altera.
De esta manera, para llevar varios quebrados de distinto denominador a otros quebrados que tengan el mismo denominador pero representen la misma fracción, se procede a multiplicar los denominadores entre sí, y también a multiplicar cada numerador por el mismo número por el que se multiplicó el respectivo denominador.
Por ejemplo. Para multiplicar un quinto por tres octavos:
1      ×    8       =      8
5      ×    8       =     40
1      ×    5       =      5
8      ×    5       =     40
8        ×       5       =      40
40               40              40

Simplificación.

Una vez realizada la multiplicación de quebrados mediante el cálculo del común denominador, será posible simplificarlo; es decir, disminuir tanto el numerador como el denominador, procediendo a dividir ambos por un mismo número que permita hacerlo en forma entera, o sea, sin que quede ningún resto.
En el caso del ejemplo anterior, se aprecia a simple vista que habiendo resultado iguales el numerador y el denominador, ambos son divisibles por ese mismo número, lo que en el caso daría un "quebrado" equivalente a una unidad entera; por lo que su razón es 1.
Un procedimiento para simplificar, consiste en ir averiguando, al tanteo, por qué número es posible dividir en forma exacta el numerador y a la vez el denominador. Al este fin, es posible examinar sucesivamente si ambos términos pueden ser divididos exactamente por 10, 5, 3, o 2.

Máximo común divisor
Para proceder más directamente a la simplificación, conviene calcular primero el divisor más alto que sea aplicable a ambos términos del quebrado, que se denomina máximo común divisor.
El máximo común divisor, en el caso de un quebrado, aplicado al numerador y al denominador, permite dividirlos al máximo sin que por ello se modifique la razón inherente al quebrado.
La simplificación de quebrados es una operación que siempre es conveniente, en cuanto sea posible; porque es muy preferible operar con quebrados compuestos por numerador y denominador de números más bajos.
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